L.C.M { Least Common Multiple }

नमस्ते छात्रों! गणित की बुनियादी समझ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) को समझना बहुत जरूरी है। चाहे आप स्कूली परीक्षा की तैयारी कर रहे हों या प्रतियोगी परीक्षाओं की, LCM का Concept हर जगह काम आता है। आज के इस Blog में हम LCM को विस्तार से और आसान भाषा में समझेंगे।

आपने अपवर्त्य (Multiples) और समापवर्त्य (Common Multiples) की बहुत ही सुंदर और सटीक परिभाषा दी है। "संख्याओं का एक साथ मिलकर नृत्य करना" वाली आपकी उपमा छात्रों को यह विषय समझाने के लिए बेहतरीन है।

आपके Basic Learning Center के लिए इस जानकारी को एक व्यवस्थित और आकर्षक ब्लॉग पोस्ट या बुक Chapter के रूप में नीचे दिया गया है

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लघुत्तम समापवर्त्य (Least Common Multiple - LCM)

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गणित में किसी भी बड़ी समस्या को हल करने के लिए बुनियादी शब्दों को समझना जरूरी है। आइए इसे क्रमवार समझते हैं:

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अपवर्त्य (Multiples) क्या हैं?

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अपवर्त्य वे संख्याएँ होती हैं जो किसी दी गई संख्या को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त होती हैं। सरल भाषा में कहें तो, किसी संख्या का पहाड़ा (Table) ही उसके अपवर्त्य कहलाते हैं।

उदाहरण: 3 के अपवर्त्य: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...

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समापवर्त्य (Common Multiples) क्या हैं?

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समापवर्त्य वे संख्याएँ होती हैं जो एक साथ दो या दो से अधिक संख्याओं के गुणज (Multiples) होती हैं। यह उन संख्याओं का 'साझा नृत्य' है जहाँ वे एक ही स्थान पर मिलती हैं।

उदाहरण: 3 और 4 के समापवर्त्य:

3 के अपवर्त्य: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...

4 के अपवर्त्य: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...

यहाँ 12, 24, 36... दोनों के साझा या 'समापवर्त्य' हैं।

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लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की परिभाषा

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दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो उन सभी संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती है।

याद रखने का मंत्र: वह सबसे छोटा 'स्टेशन' जहाँ सभी दी गई संख्याओं की ट्रेनें एक साथ रुकती हैं।

दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी से छोटी संख्या हैं जो उन संख्याओं से पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।

लघुत्तम समापवर्त्य को अंग्रेजी में LCM कहते हैं 

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उदाहरण: 4, 6, 12 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

  4 = 2 × 2
  6 = 2 × 3
12 =2 × 2 × 3  

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LCM ⇒ 2 × 2 × 3 =12

अतः अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य 12 वह छोटी से छोटी संख्या हैं जो 4, 6, 12 तीनों से पूरी-पूरी तरह विभाजित हो जाती हैं।

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LCM निकालने की मुख्य विधियाँ (Methods)

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[A] गुणनखंड विधि (Factorization Method): संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड निकालकर सबसे बड़ी घातों का गुणा करना।

[B] भाग विधि (Division Method): सभी संख्याओं को एक साथ लिखकर अभाज्य संख्याओं से भाग देना।

 

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A-  अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा

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सर्वप्रथम दी गई संख्या को अभाज्य गुणनखण्डों के रूप में लिखते है । फिर इन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखण्डों के सबसे ज्यादा संख्या जिस लाइन में रहता है केवल उसी को नीचे लिख लेते है और उनका गुणनफल ही  लघुत्तम समापवर्त्य हैं।

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) निकालने का तरीका बच्चों को समझाने के लिए हम इसे सरल और आसान कदमों में समझ सकते हैं:

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LCM निकालने का तरीका:

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[i]  सभी संख्याओं को गुणनखंडों में विभाजित करें (Prime Factorization):

सबसे पहले, दी गई सभी संख्याओं को उनके गुणनखंडों (Prime Factors) में विभाजित करें।

[ii]  सभी गुणनखंडों का सबसे बड़ा गुणनफल (Highest Power) लें:

हर एक गुणनखंड के सबसे बड़े गुणनफल (Highest Power) को लेकर उसे LCM में शामिल करें।

[iii]  गुणनफल करें: अब इन सबसे बने गुणनखंडों को आपस में गुणा करके LCM निकालें।

 

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उदाहरण 1. 32, 64 तथा 128 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- प्रश्नानुसार,
32 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 2
64 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
48 ⇒ 2 × 2 × 2 × 2 × 3 

—-----------------------------------

ल. स. = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

ल. स. = 96

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उदाहरण 2. 12, 48, 72 तथा 120 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

हल:- प्रश्नानुसार,
12 = 2 × 2 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5  

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L.C.M. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
L.C.M. = 720

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◆✦◆✦◆ Exercise - 01 ◆✦◆✦◆

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प्रश्न 1: 24, 48, 96 और 192 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 96      (B) 192      (C) 384      (D) 48

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प्रश्न 2: 15, 20 और 25 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 150      (B) 200      (C) 300      (D) 600

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प्रश्न 3: 12, 30 और 45 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 90      (B) 120      (C) 180      (D) 360

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प्रश्न 4: 36, 72 और 108 का LCM ज्ञात कीजिए।

 (A) 108      (B) 216      (C) 432      (D) 144

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प्रश्न 5: 8, 14 और 22 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 308      (B) 616      (C) 154      (D) 1232

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प्रश्न 6: 9, 18 और 54 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 18      (B) 54      (C) 108      (D) 27

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प्रश्न 7: 10, 25 और 50 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 100      (B) 50      (C) 250      (D) 75

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प्रश्न 8: 16, 24 और 64 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 128      (B) 192      (C) 256      (D) 64

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प्रश्न 9: 18, 42 और 56 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 504      (B) 252      (C) 1008      (D) 168

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प्रश्न 10: 40, 60 और 100 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 300      (B) 600      (C) 1200      (D) 200

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प्रश्न 11: 28, 35 और 70 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 70      (B) 140      (C) 210      (D) 280

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प्रश्न 12: 14, 21 और 28 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 42      (B) 84      (C) 168      (D) 56

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प्रश्न 13: 22, 33 और 44 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 66      (B) 132      (C) 110      (D) 264

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प्रश्न 14: 5, 10, 15 और 20 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 30      (B) 60      (C) 40      (D) 120

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प्रश्न 15: 12, 16, 24 और 32 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 64      (B) 96      (C) 48      (D) 192

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प्रश्न 16: 25, 50 और 75 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 100      (B) 150      (C) 300      (D) 75

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प्रश्न 17: 18, 27 और 36 का LCM क्या होगा? 

(A) 72      (B) 108      (C) 54      (D) 216

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प्रश्न 18: 20, 30, 40 और 50 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 300      (B) 600      (C) 200      (D) 1200

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प्रश्न 19: 6, 8, 12 और 20 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 60      (B) 120      (C) 240      (D) 80

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प्रश्न 20: 14, 28, 42 और 56 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 112      (B) 168      (C) 84      (D) 336

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प्रश्न 21: 13, 26 और 39 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 39      (B) 78      (C) 156      (D) 52

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प्रश्न 22: 11, 22, 33 और 55 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 110      (B) 330      (C) 165      (D) 660

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प्रश्न 23: 16, 32, 48 और 64 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 128      (B) 192      (C) 96      (D) 384

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प्रश्न 24: 15, 30, 45 और 60 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 90      (B) 180      (C) 120      (D) 360

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प्रश्न 25: 21, 42 और 63 का LCM क्या है? 

(A) 63      (B) 126      (C) 252      (D) 84

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प्रश्न 26: 7, 14, 21 और 28 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 56      (B) 84      (C) 42      (D) 168

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प्रश्न 27: 12, 18, 24 और 30 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 180      (B) 360      (C) 240      (D) 120

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प्रश्न 28: 10, 20, 30, 40 और 50 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 300      (B) 600      (C) 200      (D) 1200

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प्रश्न 29: 8, 12, 16 और 20 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 120      (B) 240      (C) 160      (D) 480

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प्रश्न 30: 18, 24 और 30 का LCM क्या होगा? 

(A) 180      (B) 360      (C) 240      (D) 720

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प्रश्न 31: 4, 12, 16 और 24 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 48      (B) 24      (C) 96      (D) 72

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प्रश्न 32: 25, 30 और 50 का LCM क्या होगा? 

(A) 100      (B) 150      (C) 300      (D) 75

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प्रश्न 33: 6, 9, 15 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 54      (B) 180      (C) 90      (D) 36

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प्रश्न 34: 14, 28, 35 और 70 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 70      (B) 140      (C) 210      (D) 280

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प्रश्न 35: 20, 40, 60 और 80 का LCM क्या है? 

(A) 120      (B) 160      (C) 240      (D) 480

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प्रश्न 36: 11, 22 और 55 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 55      (B) 110      (C) 220      (D) 121

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प्रश्न 37: 15, 45 और 90 का LCM क्या होगा? 

(A) 45      (B) 90      (C) 180      (D) 135

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प्रश्न 38: 13, 39 और 52 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 104      (B) 156      (C) 78      (D) 52

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प्रश्न 39: 17, 34 और 51 का LCM क्या है? 

(A) 51      (B) 102      (C) 68      (D) 153

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प्रश्न 40: 8, 16, 24 और 32 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 64      (B) 96      (C) 48      (D) 128

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प्रश्न 41: 10, 15, 20 और 25 का LCM क्या होगा? 

(A) 150      (B) 200      (C) 300      (D) 100

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प्रश्न 42: 12, 16, 18 और 24 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 72      (B) 144      (C) 48      (D) 96

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प्रश्न 43: 21, 42, 63 और 84 का LCM क्या है? 

(A) 126      (B) 168      (C) 252      (D) 84

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प्रश्न 44: 5, 15, 25 और 30 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 75      (B) 150      (C) 300      (D) 125

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प्रश्न 45: 9, 27, 54 और 108 का LCM क्या होगा? 

(A) 54      (B) 108      (C) 216      (D) 81

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प्रश्न 46: 16, 32, 48 और 96 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 48      (B) 96      (C) 192      (D) 64

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प्रश्न 47: 18, 36, 54 और 72 का LCM क्या है? 

(A) 72      (B) 144      (C) 216      (D) 108

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प्रश्न 48: 7, 14, 28 और 56 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 28      (B) 56      (C) 112      (D) 84

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प्रश्न 49: 12, 24, 36 और 48 का LCM क्या होगा? 

(A) 72      (B) 96      (C) 144      (D) 120

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प्रश्न 50: 3, 6, 9, 12 और 15 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 60      (B) 120      (C) 180      (D) 90

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◆✦◆✦◆ Answer Key-01 ◆✦◆✦◆

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Answer Key-01
Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans
1	B	11	B	21	B	31	A	41	C
2	C	12	B	22	B	32	B	42	B
3	C	13	B	23	B	33	C	43	C
4	B	14	B	24	B	34	B	44	B
5	B	15	B	25	B	35	C	45	B
6	B	16	B	26	B	36	B	46	B
7	B	17	B	27	B	37	B	47	C
8	B	18	B	28	B	38	B	48	B
9	A	19	B	29	B	39	B	49	C
10	B	20	B	30	B	40	B	50	C

 

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B- भाग विधि द्वारा

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LCM निकालने के लिए हम सभी संख्याओं को छोटे-छोटे अंकों से भाग देते हैं और जब तक सभी संख्याएं 1 नहीं हो जातीं, तब तक यह प्रक्रिया जारी रखते हैं। फिर उन सभी अंकों का गुणनफल LCM होता है।

 

लघुत्तम समापवर्तक (LCM) को भाग विधि (Division Method) से निकालने का तरीका बच्चों के लिए बहुत सरल और आसान है। हम इसे निम्नलिखित चरणों में समझ सकते हैं:

भाग विधि से LCM निकालने का तरीका:

[i] सभी संख्याओं को एक साथ लिखें:

सबसे पहले, दी गई सभी संख्याओं को एक साथ एक पंक्ति में लिखें।

[ii] नंबर को छोटे से बड़े भागी से विभाजित करें:

पहले सबसे छोटे अंक (जैसे 2, 3, 5) से उन सभी संख्याओं को भाग दें, जो उस अंक से पूरी तरह से विभाजित होती हैं।

[iii] ध्यान रखें कि जहां कोई संख्या पूरी तरह से विभाजित न हो, उसे वैसा ही छोड़ दें:

यदि कोई संख्या उस अंक से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, तो उसे जैसे है वैसा ही नीचे लिखें।

[iv] यह प्रक्रिया तब तक दोहराएं जब तक सभी संख्याएं 1 न बन जाएं:

इस प्रक्रिया को तब तक करते रहें जब तक सारी संख्याएं 1 न हो जाएं। अंत में जो अंक बचते हैं, उनका गुणनफल LCM होता है।

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उदाहरण 1. 24, 48, 96, 192 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

2	24	48	96	192
2	12	24	48	96
2	6	12	24	48
2	3	6	12	24
2	3	3	6	12
2	3	3	3	6
3	3	3	3	3
	1	1	1	1

ल. स. = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 

ल. स. = 192

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उदाहरण 2. 40, 64, 78, 112 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए?

2	40	64	78	112
2	20	32	39	56
2	10	16	39	28
2	5	8	39	14
2	5	4	39	7
2	5	2	39	7
3	5	1	39	7
5	5	1	13	7
7	1	1	13	7
13	1	1	13	1
	1	1	1	1

ल. स. =  2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 13
ल. स. =  64 × 15 × 91
ल. स. =  87360

 

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◆✦◆✦◆ Exercise - 02 ◆✦◆✦◆

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प्रश्न 1: 36, 54 और 72 का LCM ज्ञात कीजिए।

 (A) 108      (B) 216      (C) 144      (D) 432

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प्रश्न 2: 12, 18 और 24 का LCM क्या होगा? 

(A) 36      (B) 48      (C) 72      (D) 144

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प्रश्न 3: 14, 21 और 28 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 42      (B) 84      (C) 56      (D) 168

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प्रश्न 4: 8, 16 और 24 का LCM क्या है? 

(A) 24      (B) 32      (C) 48      (D) 96

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प्रश्न 5: 5, 10 और 15 का LCM ज्ञात कीजिए।

 (A) 20      (B) 30      (C) 50      (D) 15

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प्रश्न 6: 6, 15 और 20 का LCM क्या होगा? 

(A) 30      (B) 60      (C) 90      (D) 120

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प्रश्न 7: 7, 14 और 35 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 35      (B) 70      (C) 105      (D) 140

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प्रश्न 8: 18, 30 और 45 का LCM क्या है? 

(A) 60      (B) 90      (C) 135      (D) 180

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प्रश्न 9: 9, 12 और 18 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 24      (B) 36      (C) 54      (D) 72

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प्रश्न 10: 4, 5 और 6 का LCM क्या होगा? 

(A) 20      (B) 30      (C) 60      (D) 120

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प्रश्न 11: 8, 20 और 40 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 40      (B) 80      (C) 120      (D) 160

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प्रश्न 12: 3, 9 और 12 का LCM क्या है? 

(A) 18      (B) 36      (C) 27      (D) 72

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प्रश्न 13: 11, 22 और 33 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 44      (B) 66      (C) 132      (D) 121

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प्रश्न 14: 10, 25 और 50 का LCM क्या होगा? 

(A) 50      (B) 100      (C) 75      (D) 250

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प्रश्न 15: 16, 24 और 36 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 72      (B) 144      (C) 108      (D) 48

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प्रश्न 16: 2, 4 और 8 का LCM क्या है? 

(A) 4      (B) 8      (C) 16      (D) 2

---

प्रश्न 17: 25, 30 और 50 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 100      (B) 150      (C) 300      (D) 75

---

प्रश्न 18: 13, 39 और 52 का LCM क्या होगा? 

(A) 104      (B) 156      (C) 78      (D) 52

---

प्रश्न 19: 17, 34 और 51 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 51      (B) 102      (C) 153      (D) 68

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प्रश्न 20: 21, 42, 63 और 84 का LCM क्या है? 

(A) 126      (B) 252      (C) 168      (D) 84

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प्रश्न 21: 15, 45 और 90 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 45      (B) 90      (C) 180      (D) 135

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प्रश्न 22: 20, 40, 60 और 80 का LCM क्या होगा? 

(A) 120      (B) 160      (C) 240      (D) 480

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प्रश्न 23: 28, 35 और 70 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 70      (B) 140      (C) 210      (D) 280

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प्रश्न 24: 22, 33, 44 और 55 का LCM क्या है? 

(A) 110      (B) 220      (C) 660      (D) 330

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प्रश्न 25: 12, 16, 18 और 24 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 72      (B) 144      (C) 48      (D) 96

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प्रश्न 26: 10, 15, 20 और 25 का LCM क्या होगा? 

(A) 150      (B) 200      (C) 300      (D) 100

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प्रश्न 27: 16, 32, 48 और 96 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 48      (B) 96      (C) 192      (D) 64

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प्रश्न 28: 18, 36, 54 और 72 का LCM क्या है? 

(A) 72      (B) 144      (C) 216      (D) 108

---

प्रश्न 29: 7, 14, 28 और 56 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 28      (B) 56      (C) 112      (D) 84

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प्रश्न 30: 12, 24, 36 और 48 का LCM क्या होगा? 

(A) 72      (B) 96      (C) 144      (D) 120

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प्रश्न 31: 124, 144 और 160 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 22320      (B) 44640      (C) 89280      (D) 11160

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प्रश्न 32: 108, 135 और 162 का LCM क्या है? 

(A) 1620      (B) 3240      (C) 810      (D) 2160

---

प्रश्न 33: 156, 182 और 208 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 3276      (B) 4368      (C) 2184      (D) 6552

---

प्रश्न 34: 175, 225 और 275 का LCM क्या होगा? 

(A) 17325      (B) 19250      (C) 34650      (D) 38500

---

प्रश्न 35: 252, 308 और 504 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 2772      (B) 5544      (C) 8316      (D) 1386

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प्रश्न 36: 180, 216, 324 और 432 का LCM क्या है? 

(A) 3240      (B) 6480      (C) 5400      (D) 10800

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प्रश्न 37: 104, 130, 156 और 182 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 5460      (B) 2730      (C) 10920      (D) 8190

---

प्रश्न 38: 44, 66, 110 और 121 का LCM क्या होगा? 

(A) 2420      (B) 7260      (C) 3630      (D) 1331

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प्रश्न 39: 216, 288 और 360 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 2160      (B) 4320      (C) 8640      (D) 1440

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प्रश्न 40: 288, 360, 432 और 504 का LCM क्या है? 

(A) 15120      (B) 30240      (C) 60480      (D) 7560

---

प्रश्न 41: 112, 140 और 168 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 840      (B) 1680      (C) 3360      (D) 1120

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प्रश्न 42: 132, 154 और 198 का LCM क्या होगा? 

(A) 1386      (B) 2772      (C) 924      (D) 1848

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प्रश्न 43: 250, 375 और 625 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 1250      (B) 3750      (C) 1875      (D) 3125

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प्रश्न 44: 115, 138 और 161 का LCM क्या है? 

(A) 2415      (B) 4830      (C) 1610      (D) 3220

---

प्रश्न 45: 176, 264 और 352 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 1056      (B) 2112      (C) 3168      (D) 1584

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प्रश्न 46: 135, 162, 189 और 216 का LCM क्या होगा? 

(A) 11340      (B) 22680      (C) 7560      (D) 15120

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प्रश्न 47: 221, 247 और 299 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 19422      (B) 32317      (C) 25883      (D) 51766

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प्रश्न 48: 168, 189, 231 और 252 का LCM क्या है? 

(A) 13860      (B) 27720      (C) 9240      (D) 18480

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प्रश्न 49: 136, 153, 170 और 187 का LCM ज्ञात कीजिए। 

(A) 114240      (B) 57120      (C) 228480      (D) 85680

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प्रश्न 50: 255, 340 और 425 का LCM क्या होगा? 

(A) 12750      (B) 25500      (C) 8500      (D) 5100

 

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◆✦◆✦◆ Answer Key-02 ◆✦◆✦◆

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Answer Key-02
Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans
1	B	11	A	21	B	31	B	41	B
2	C	12	B	22	C	32	A	42	B
3	B	13	B	23	B	33	B	43	C
4	C	14	A	24	C	34	A	44	A
5	B	15	B	25	B	35	B	45	A
6	B	16	B	26	C	36	B	46	A
7	B	17	B	27	B	37	A	47	A
8	B	18	B	28	C	38	B	48	B
9	B	19	B	29	B	39	B	49	B
10	C	20	B	30	C	40	B	50	A

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लघुत्तम समापवर्त्य के अन्य सवाल

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1- भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य

2- घातांक का लघुत्तम समापवर्त्य

3- दशमलव संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

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1- भिन्नों का लघुत्तम समापवर्त्य(LCM of fractions)

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जब हमें भिन्नों का LCM निकालना होता है, तो हम निम्नलिखित प्रक्रिया का पालन करते हैं:

भिन्नों का LCM =

अंशों का LCM

हरों का HCF

$$$$

$$\frac{<br>}{}$$

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भिन्नों का HCF निकालने का तरीका:

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1- भिन्नों के अंश (Numerators) का LCM निकालें:

2- भिन्नों के हर (Denominators) का HCF निकालें:

$$LCM(\frac{A}{B},\frac{X}{Y})=\frac{LCM(A,X)}{HCF(B,Y)}$$

जहाँ: A पहली भिन्न का अंश और B पहली भिन्न का हर हैं।X दूसरी भिन्न का अंश और Y दूसरी भिन्न का हर हैं।

 

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उदाहरण 1: भिन्न: $\frac{3}{\mathrm{4 }}$ और  $\frac{5}{6}$का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)​

[i] अंशों का ल. स. : $\text{LCM}(3,5)=\mathrm{15 }$
[ii] हरों का म. स. : $\text{HCF}(4,6)=\mathrm{2 }$
[iii] अब, LCM का परिणाम:$$\text{LCM}(\frac{3}{4},\frac{5}{6})=\frac{\text{LCM}(3,5)}{\text{HCF}(4,6)}=\frac{15}{2}$$

उत्तर: $\frac{15}{\mathrm{2 }}$

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उदाहरण 2: भिन्न: $\frac{7}{\mathrm{8 }}$और $\frac{9}{\mathrm{10 }}$का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ​

1. अंशों का ल. स.: $\text{LCM}(7,9)=\mathrm{63 }$
2. हरों का म. स. : $$$<span><span\; class="katex"><span\; class="katex-mathml">HCF</span></span></span>$$(8,10)=\mathrm{2 }$
3. अब, LCM का परिणाम:$$\text{LCM}(\frac{7}{8},\frac{9}{10})=\frac{\text{LCM}(7,9)}{\text{HCF}(8,10)}=\frac{63}{\mathrm{2 }}$$

उत्तर: $\frac{63}{\mathrm{2 }}$

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उदाहरण 3: भिन्न: $\frac{5}{\mathrm{12 }}$और $\frac{7}{\mathrm{18 }}$का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ​

1. अंशों का ल. स.: $\text{LCM}(5,7)=\mathrm{35 }$
2. हरों का म. स. : $$$<span><span\; class="katex"><span\; class="katex-mathml">HCF</span></span></span>$$(12,18)=\mathrm{6 }$
3. अब, LCM का परिणाम:$$\text{LCM}$$

उत्तर: $\frac{35}{\mathrm{6 }}$

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उदाहरण 4: भिन्न: $\frac{2}{\mathrm{5 }}$ और $\frac{3}{\mathrm{4 }}$का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)​

1. अंशों का ल. स.: $\text{LCM}(2,3)=\mathrm{6 }$
2. हरों का म. स. : $$$<span><span\; class="katex"><span\; class="katex-mathml">HCF</span></span></span>$$(5,4)=\mathrm{1 }$
3. अब, LCM का परिणाम:$$\text{LCM}$$

उत्तर: $\frac{6}{\mathrm{1 }}$

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सामान्य टिप्स:

[i] भिन्नों का LCM निकालने के लिए पहले अंशों का LCM और हरों का HCF अलग-अलग निकालें।
[ii] फिर अंतिम उत्तर को सबसे सरल रूप में प्रस्तुत करें।

 

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◆✦◆✦◆ Exercise - 03 ◆✦◆✦◆

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प्रश्न 01: 4/5 और 3/7 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 12/1      (B) 12/35      (C) 7/35      (D) 1/35

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प्रश्न 02: 6/11 और 9/14 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 18/1      (B) 54/1      (C) 18/154      (D) 3/154

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प्रश्न 03: 8/15 और 10/12 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 40/3      (B) 80/3      (C) 40/60      (D) 2/3

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प्रश्न 04: 7/9 और 5/6 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 35/18      (B) 35/3      (C) 12/3      (D) 35/9

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प्रश्न 05: 3/8 और 5/12 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 15/4      (B) 15/24      (C) 8/4      (D) 1/4

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प्रश्न 06: 6/10 और 15/20 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 30/10      (B) 3/1      (C) 15/10      (D) 30/20

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प्रश्न 07: 9/16 और 11/14 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 99/2      (B) 99/112      (C) 11/2      (D) 1/2

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प्रश्न 08: 4/9 और 6/15 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 12/3      (B) 4/1      (C) 12/45      (D) 24/3

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प्रश्न 09: 7/12 और 8/18 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 56/6      (B) 28/3      (C) 56/36      (D) 15/6

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प्रश्न 10: 2/5 और 3/8 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 6/1      (B) 6/40      (C) 5/1      (D) 6/5

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प्रश्न 11: 1/2, 2/3 और 3/4 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 6/1      (B) 1/12      (C) 6/12      (D) 3/2

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प्रश्न 12: 5/6, 10/9 और 15/12 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 30/3      (B) 10/1      (C) 30/36      (D) 5/3

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प्रश्न 13: 4/7, 8/21 और 12/35 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 24/7      (B) 24/105      (C) 4/7      (D) 48/7

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प्रश्न 14: 9/10, 12/25 और 18/35 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 36/5      (B) 18/5      (C) 36/350      (D) 72/5

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प्रश्न 15: 11/15, 22/25 और 33/30 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 66/5      (B) 11/5      (C) 66/150      (D) 33/5

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प्रश्न 16: 2/3 और 4/9 का LCM क्या है? 

(A) 4/3      (B) 8/3      (C) 4/9      (D) 2/3

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प्रश्न 17: 7/8 और 14/16 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 7/8      (B) 14/8      (C) 7/4      (D) 14/16

---

प्रश्न 18: 3/5 और 9/10 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 9/5      (B) 3/5      (C) 9/10      (D) 18/5

---

प्रश्न 19: 5/12 और 25/18 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 25/6      (B) 50/6      (C) 25/36      (D) 5/6

---

प्रश्न 20: 8/9 और 16/27 का LCM क्या होगा? 

(A) 16/9      (B) 8/9      (C) 16/27      (D) 32/9

---

प्रश्न 21: 13/15 और 26/45 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 26/15      (B) 13/15      (C) 26/45      (D) 52/15

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प्रश्न 22: 4/11, 6/22 और 8/33 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 24/11      (B) 12/11      (C) 24/66      (D) 8/11

---

प्रश्न 23: 1/5, 1/10 और 1/15 का LCM क्या है? 

(A) 1/5      (B) 1/30      (C) 3/5      (D) 1/1

---

प्रश्न 24: 10/21, 20/63 और 30/42 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 60/21      (B) 60/7      (C) 20/7      (D) 60/42

---

प्रश्न 25: 14/25 और 21/50 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 42/25      (B) 14/25      (C) 42/50      (D) 21/25

---

प्रश्न 26: 12/13, 24/26 और 36/39 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 72/13      (B) 36/13      (C) 72/39      (D) 12/13

---

प्रश्न 27: 15/16 और 25/32 का LCM क्या होगा? 

(A) 75/16      (B) 50/16      (C) 75/32      (D) 25/16

---

प्रश्न 28: 9/20 और 27/40 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 27/20      (B) 18/20      (C) 27/40      (D) 9/20

---

प्रश्न 29: 6/7, 12/14 और 18/21 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 36/7      (B) 18/7      (C) 36/21      (D) 6/7

---

प्रश्न 30: 4/5, 8/15 और 16/25 का LCM क्या है? 

(A) 16/5      (B) 32/5      (C) 16/25      (D) 8/5

---

प्रश्न 31: 17/20 और 51/60 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 51/20      (B) 17/20      (C) 51/60      (D) 102/20

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प्रश्न 32: 22/35 और 33/70 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 66/35      (B) 11/35      (C) 66/70      (D) 33/35

---

प्रश्न 33: 19/24 और 38/48 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 38/24      (B) 19/24      (C) 38/48      (D) 19/12

---

प्रश्न 34: 2/7, 3/14 और 4/21 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 12/7      (B) 12/14      (C) 6/7      (D) 24/7

---

प्रश्न 35: 5/9, 10/18 और 15/27 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 30/9      (B) 10/3      (C) 15/9      (D) 30/27

---

प्रश्न 36: 16/25 और 24/35 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 48/5      (B) 96/5      (C) 48/25      (D) 16/5

---

प्रश्न 37: 18/49 और 27/70 का LCM क्या होगा? 

(A) 54/7      (B) 108/7      (C) 54/49      (D) 27/7

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प्रश्न 38: 20/27 और 30/81 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 60/27      (B) 20/9      (C) 60/81      (D) 10/27

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प्रश्न 39: 14/15, 28/30 और 42/45 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 84/15      (B) 28/5      (C) 42/15      (D) 14/5

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प्रश्न 40: 25/36 और 75/48 का LCM क्या है? 

(A) 75/12      (B) 25/4      (C) 150/12      (D) 75/36

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प्रश्न 41: 13/24, 39/48 और 52/72 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 156/24      (B) 13/2      (C) 156/72      (D) 39/24

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प्रश्न 42: 1/6, 1/8 और 1/12 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 1/2      (B) 1/24      (C) 1/4      (D) 1/1

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प्रश्न 43: 7/10, 14/15 और 21/20 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 42/5      (B) 84/5      (C) 42/10      (D) 14/5

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प्रश्न 44: 11/12, 22/24 और 33/36 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 66/12      (B) 11/2      (C) 66/36      (D) 22/12

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प्रश्न 45: 8/9, 12/15 और 16/21 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 48/3      (B) 16/1      (C) 48/9      (D) 96/3

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प्रश्न 46: 15/28, 20/42 और 25/56 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 300/14      (B) 150/7      (C) 300/56      (D) 15/14

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प्रश्न 47: 10/11, 20/33 और 30/55 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 60/11      (B) 120/11      (C) 60/33      (D) 30/11

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प्रश्न 48: 9/14, 18/21 और 27/28 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 54/7      (B) 108/7      (C) 54/28      (D) 18/7

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प्रश्न 49: 4/13, 8/26 और 12/39 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 24/13      (B) 12/13      (C) 24/39      (D) 8/13

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प्रश्न 50: 2/5, 4/15 और 6/25 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 12/5      (B) 24/5      (C) 12/25      (D) 6/5

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◆✦◆✦◆ Answer Key-03 ◆✦◆✦◆

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Answer Key-03
Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans
1	A	11	A	21	A	31	A	41	B
2	A	12	B	22	A	32	A	42	A
3	A	13	A	23	A	33	A	43	A
4	B	14	A	24	B	34	A	44	B
5	A	15	A	25	A	35	B	45	B
6	B	16	A	26	B	36	A	46	A
7	A	17	B	27	A	37	A	47	A
8	B	18	A	28	A	38	B	48	A
9	B	19	A	29	B	39	B	49	A
10	A	20	A	30	A	40	A	50	A

 

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2- घातांक का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM of Exponents)

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घातांक का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) दो या दो से अधिक संख्याओं के घातांकों (exponents) का वह

सबसे छोटा गुणज (multiple) होता है, जो उन संख्याओं के आधार (bases) और घातांकों को मिलाकर

सबसे छोटा संयोजन देता है। इसको समझने के लिए हम उदाहरण से समझ सकते हैं।

[i] सभी संख्याओं का गुणनफल (Prime Factorization) करें।

संख्याओं को उनके घातांकों के साथ विभाजित करें।

[ii]  सभी आधारों का अधिकतम घातांक (highest exponent) चुनें।

[iii] LCM निकालने के लिए उन आधारों के अधिकतम घातांकों का गुणनफल करें।

घातांक का LCM कैसे निकालें?

Step-by-Step Example

उदाहरण 1: 2³ और 2⁵ का LCM

1

आधार (Base) की पहचान:

संख्याओं 2³ और 2⁵ के लिए आधार (Base) 2 है।

2

अधिकतम घातांक (Maximum Exponent):

दिए गए घातांकों 3 और 5 में से अधिकतम घातांक 5 है।

3

LCM का निर्धारण:

नियम के अनुसार, समान आधार होने पर सबसे बड़ी घात ही LCM होती है।
LCM(23, 25) = 25

उत्तर: 2⁵

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उदाहरण 2: 3² और 3⁴ का LCM

Step 1 - आधार की पहचान: 3² और 3⁴ के लिए आधार (Base) 3 है।

Step 2 - अधिकतम घातांक: 2 और 4 में से अधिकतम घातांक 4 है।

Step 3 - LCM का निर्धारण:
LCM(32, 34) = 34

उत्तर: 3⁴ (LCM)

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उदाहरण 3: 2⁴ और 3³ का LCM

Step 1 - आधार की पहचान: यहाँ आधार (Base) 2 और 3 हैं।

Step 2 - अधिकतम घातांक: 2 का घातांक 4 है और 3 का घातांक 3 है। चूँकि आधार अलग-अलग हैं, दोनों को लिया जाएगा।

Step 3 - LCM का निर्धारण:
LCM(24, 33) = 24 × 33

उत्तर: 2⁴ × 3³ (LCM)

उदाहरण 4: 5², 2³, और 3⁴ का LCM

Step 1 - आधार की पहचान: यहाँ आधार 5, 2, और 3 हैं।

Step 2 - अधिकतम घातांक: 5 का घातांक 2, 2 का घातांक 3 और 3 का घातांक 4 है।

Step 3 - LCM का निर्धारण:
LCM(52, 23, 34) = 52 × 23 × 34

उत्तर: 5² × 2³ × 3⁴ (LCM)

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घातांक का LCM निकालने के लिए:

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[i] प्रत्येक संख्या के घातांक का अधिकतम घातांक चुने।

[ii] यदि अलग-अलग आधार हैं, तो हर आधार का अधिकतम घातांक लें और उन्हें गुणा करें।

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◆✦◆✦◆ Exercise - 03 ◆✦◆✦◆

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प्रश्न 01: 2⁵, 4³ और 8² का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 2⁵
(B) 2⁶
(C) 2⁸
(D) 2¹⁰

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प्रश्न 02: 5⁴, 25³ और 125² का LCM क्या होगा?
(A) 5⁴
(B) 5⁶
(C) 5⁸
(D) 5¹⁰

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प्रश्न 03: 3⁴, 9² और 27³ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 3⁴
(B) 3⁶
(C) 3⁹
(D) 3¹²

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प्रश्न 04: 10², 100³ और 1000² का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 10²
(B) 10⁴
(C) 10⁶
(D) 10⁹

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प्रश्न 05: 2⁶, 8⁴, 16² और 32¹ का LCM क्या है?
(A) 2⁶
(B) 2⁸
(C) 2¹²
(D) 2¹⁶

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प्रश्न 06: 7³, 49², 343¹ और 7⁵ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 7³
(B) 7⁴
(C) 7⁵
(D) 7⁶

---

प्रश्न 07: 6⁵, 36⁴ और 216² का LCM क्या होगा?
(A) 6⁵
(B) 6⁶
(C) 6⁸
(D) 6¹⁰

---

प्रश्न 08: 4⁴, 16³, 64² और 256¹ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 4⁴
(B) 4⁶
(C) 4⁸
(D) 4¹⁰

---

प्रश्न 09: 3⁷, 9⁶, 27⁵ और 81⁴ का LCM क्या है?
(A) 3¹²
(B) 3¹⁵
(C) 3¹⁶
(D) 3²⁰

---

प्रश्न 10: 5³, 25², 125¹ और 5⁶ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 5³
(B) 5⁴
(C) 5⁶
(D) 5¹²

---

प्रश्न 11: 11², 121¹ और 1331² का LCM क्या होगा?
(A) 11²
(B) 11⁴
(C) 11⁶
(D) 11⁸

---

प्रश्न 12: 13³, 169² और 2197¹ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 13³
(B) 13⁴
(C) 13⁶
(D) 13⁹

---

प्रश्न 13: 2⁸, 4⁵, 16³ और 32² का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 2⁸
(B) 2¹⁰
(C) 2¹²
(D) 2¹⁵

---

प्रश्न 14: 5⁵, 25⁴ और 625² का LCM क्या होगा?
(A) 5⁵
(B) 5⁸
(C) 5¹⁰
(D) 5¹²

---

प्रश्न 15: 3⁶, 27², 81² और 243¹ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 3⁶
(B) 3⁸
(C) 3¹⁰
(D) 3¹²

---

प्रश्न 16: 7⁴, 49³ और 343² का LCM क्या है?
(A) 7⁴
(B) 7⁶
(C) 7⁸
(D) 7¹⁰

---

प्रश्न 17: 10⁸, 100⁴, 1000³ और 10¹² का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 10⁸
(B) 10⁹
(C) 10¹²
(D) 10¹⁵

---

प्रश्न 18: 2¹⁰, 32², 1024¹ और 2¹² का LCM क्या होगा?
(A) 2¹⁰
(B) 2¹²
(C) 2¹⁵
(D) 2²⁰

---

प्रश्न 19: 6⁴, 36² और 216¹ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 6⁴
(B) 6⁶
(C) 6⁸
(D) 6³

---

प्रश्न 20: 12³, 144² और 1728¹ का LCM क्या है?
(A) 12³
(B) 12⁴
(C) 12⁶
(D) 12¹²

---

प्रश्न 21: x⁵, x⁸, x¹² और x¹⁵ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) x⁵
(B) x¹²
(C) x¹⁵
(D) x⁴⁰

---

प्रश्न 22: y⁷, y¹⁰, y¹⁵ और y²⁰ का LCM क्या होगा?
(A) y⁷
(B) y¹⁵
(C) y²⁰
(D) y⁵²

---

प्रश्न 23: a²b³, a⁴b² और a³b⁵ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) a²b²
(B) a⁴b⁵
(C) a³b³
(D) ab

---

प्रश्न 24: 4x², 8x³ और 16x⁴ का LCM क्या है?
(A) 4x²
(B) 8x⁴
(C) 16x⁴
(D) 64x⁹

---

प्रश्न 25: 9y³, 27y⁵, 81y² और 3y⁶ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 9y⁶
(B) 27y⁶
(C) 81y⁶
(D) 3y⁵

---

प्रश्न 26: 5a⁴, 25a⁶, 125a² और 5a⁸ का LCM क्या होगा?
(A) 5a⁸
(B) 25a⁸
(C) 125a⁸
(D) 125a⁶

---

प्रश्न 27: z²⁰, z³⁰, z⁴⁰ और z⁵⁰ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) z²⁰
(B) z⁴⁰
(C) z⁵⁰
(D) z¹⁴⁰

---

प्रश्न 28: 2³·3², 2²·3³ और 2⁴·3¹ का LCM क्या है?
(A) 2²·3¹
(B) 2⁴·3³
(C) 2³·3²
(D) 2¹·3¹

---

प्रश्न 29: 10², 10⁴, 10⁶ और 10⁸ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 10²
(B) 10⁶
(C) 10⁸
(D) 10²⁰

---

प्रश्न 30: p⁹, q⁹, r⁹ और s⁹ का LCM क्या होगा?
(A) pqr
(B) p⁹q⁹r⁹s⁹
(C) 1
(D) p+q+r+s

---

प्रश्न 31: (2²)³, 2⁵, 4² और 2⁸ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 2⁵
(B) 2⁶
(C) 2⁸
(D) 2¹⁰

---

प्रश्न 32: 3⁵, (3²)², 9² और 3⁶ का LCM क्या है?
(A) 3⁴
(B) 3⁵
(C) 3⁶
(D) 3⁸

---

प्रश्न 33: 5⁸, 25³, (5³)² और 5¹⁰ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 5⁶
(B) 5⁸
(C) 5¹⁰
(D) 5¹²

---

प्रश्न 34: 2⁴·5², 2³·5³, 2²·5⁴ और 2⁵·5¹ का LCM क्या होगा?
(A) 2⁵·5⁴
(B) 2²·5¹
(C) 2⁴·5⁴
(D) 2³·5³

---

प्रश्न 35: x^a, x^b, x^c और x^d का LCM क्या होगा (यदि a < b < c < d)?
(A) x^a
(B) x^c
(C) x^d
(D) 1

---

प्रश्न 36: 8², 16², 32² और 64¹ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 2⁶
(B) 2⁸
(C) 2¹⁰
(D) 2¹²

---

प्रश्न 37: 10³, 20³, 30³ और 40³ का LCM क्या है?
(A) 10³
(B) 120³
(C) 60³
(D) 40³

---

प्रश्न 38: a¹⁰⁰, a¹⁵⁰, a²⁰⁰ और a²⁵⁰ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) a¹⁰⁰
(B) a²⁰⁰
(C) a²⁵⁰
(D) a⁷⁰⁰

---

प्रश्न 39: 3²·7², 3³·7¹, 3¹·7³ और 3⁴·7⁴ का LCM क्या होगा?
(A) 3¹·7¹
(B) 3³·7³
(C) 3⁴·7⁴
(D) 21⁴

---

प्रश्न 40: 2¹, 2², 2³ और 2⁴ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 2
(B) 8
(C) 16
(D) 32

---

प्रश्न 41: 5^-2, 5^-4, 5^-6 और 5^-8 का LCM क्या है?
(A) 5^-8
(B) 5^-2
(C) 5^-1
(D) 1

---

प्रश्न 42: 3^-3, 3^-5, 3^-2 और 3^-1 का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 3^-5
(B) 3^-1
(C) 3^-2
(D) 3¹

---

प्रश्न 43: 10^-5, 10^-10, 100^-3 और 1000^-1 का LCM क्या होगा?
(A) 10^-10
(B) 10^-3
(C) 10^-5
(D) 10^-1

---

प्रश्न 44: a^x, a^x+1, a^x+2 और a^x+3 का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) a^x
(B) a^x+3
(C) a^4x+6
(D) a

---

प्रश्न 45: 2³, 3², 5¹ और 7¹ का LCM क्या है?
(A) 2³·3²·5·7
(B) 1
(C) 2³
(D) 7¹

---

प्रश्न 46: 4², 16¹, 2⁵ और 8² का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 2⁴
(B) 2⁵
(C) 2⁶
(D) 2⁸

---

प्रश्न 47: 9³, 27², 81¹ और 3⁷ का LCM क्या होगा?
(A) 3⁶
(B) 3⁷
(C) 3⁸
(D) 3⁹

---

प्रश्न 48: 10², 20², 30² और 60² का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 10²
(B) 60²
(C) 30²
(D) 120²

---

प्रश्न 49: x²y, xy², x³y² और x²y³ का LCM क्या है?
(A) xy
(B) x³y³
(C) x²y²
(D) x³y²

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प्रश्न 50: 11¹, 11³, 11⁵ और 11⁷ का LCM ज्ञात कीजिए?
(A) 11¹
(B) 11⁵
(C) 11⁷
(D) 11¹⁶

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◆✦◆✦◆ Answer Key-04 ◆✦◆✦◆

---

Answer Key-04
Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans
1	B	11	C	21	C	31	C	41	B
2	B	12	C	22	C	32	C	42	B
3	C	13	C	23	B	33	C	43	D
4	C	14	C	24	C	34	A	44	B
5	C	15	B	25	C	35	C	45	A
6	C	16	C	26	C	36	C	46	C
7	A	17	C	27	C	37	B	47	B
8	C	18	B	28	B	38	C	48	B
9	C	19	A	29	C	39	C	49	B
10	C	20	B	30	B	40	C	50	C

---

 3- दशमलव संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य(LCM of Decimal Numbers)

---

दशमलव संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालने के लिए हमें कुछ विशेष कदम उठाने होते हैं। इसे निकालने के लिए हम निम्नलिखित विधि का पालन कर सकते हैं

Step-1 दशमलव संख्याओं को पूर्णांक में बदलें: 

सबसे पहले, दशमलव संख्याओं को पूर्णांक (integer) में बदलने के लिए उन्हें 10 के गुणांक से गुणा करें, ताकि दशमलव हट जाए।

Step-2 पूर्णांक का LCM निकालें: 

उसके बाद, इन पूर्णांकों का LCM निकालें।

Step-3 LCM को वापस दशमलव रूप में बदलें: 

अंतिम LCM को वापस दशमलव रूप में बदलने के लिए, उसे उस गुणांक से विभाजित करें, जिससे आपने पहले दशमलव संख्याओं को पूर्णांक में बदला था।

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उदाहरण 1: 0.4 और 0.6  का LCM

Step-1 दशमलव संख्याओं को पूर्णांक में बदलें:
    0.4 को 10 से गुणा करें: 0.4×10=4
    0.6 को 10 से गुणा करें: 0.6×10=6

Step-2 पूर्णांकों का LCM निकालें:
    4 और 6 का LCM = 12

4 ⇒ 2 × 2
6 ⇒ 2 × 3

—-----------------------------------

ल. स. = 2 × 2 × 3 = 12 

Step-3 LCM को वापस दशमलव में बदलें:

 

      LCM = $\frac{12}{10} = 1.2$

  

$\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;"><span\; face="Verdana,\; sans-serif"\; id="docs-internal-guid-4d70c0f4-7fff-e5d5-daf4-873149ff4c39"\; style="background-color:\; transparent;\; color:\; black;\; font-style:\; normal;\; font-variant:\; normal;\; font-weight:\; 700;\; text-decoration:\; none;\; vertical-align:\; baseline;\; white-space:\; pre-wrap;">उत्तर:</span><span\; face="Verdana,\; sans-serif"\; style="background-color:\; transparent;\; color:\; black;\; font-style:\; normal;\; font-variant:\; normal;\; font-weight:\; 400;\; text-decoration:\; none;\; vertical-align:\; baseline;\; white-space:\; pre-wrap;">\; 0.4\; और\; 0.6\; का\; LCM\; =\; 1.2\; </span></span>}$

---

उदाहरण 2: 0.25  और 0.5  का LCM

Step-1 दशमलव संख्याओं को पूर्णांक में बदलें:

0.25 को 100 से गुणा करें: 0.25×100=25  

0.50 को 100 से गुणा करें: 0.50×100=50 

 

Step-2 पूर्णांकों का LCM निकालें:

25 और 50 का LCM = 50
25 ⇒ 5 × 5
50 ⇒ 2 × 5 × 5

—-----------------------------------

ल. स. = 2 × 5 × 5 = 50

Step-3 LCM को वापस दशमलव में बदलें:

 

    LCM = $\frac{50}{100}=0.5$

$\frac{50}{100} = 0.5$

$\mathrm{<span\; style="font-size:\; medium;"><span\; face="Verdana,\; sans-serif"\; id="docs-internal-guid-4d70c0f4-7fff-e5d5-daf4-873149ff4c39"\; style="background-color:\; transparent;\; color:\; black;\; font-style:\; normal;\; font-variant:\; normal;\; font-weight:\; 700;\; text-decoration:\; none;\; vertical-align:\; baseline;\; white-space:\; pre-wrap;">उत्तर:</span><span\; face="Verdana,\; sans-serif"\; style="background-color:\; transparent;\; color:\; black;\; font-style:\; normal;\; font-variant:\; normal;\; font-weight:\; 400;\; text-decoration:\; none;\; vertical-align:\; baseline;\; white-space:\; pre-wrap;">\; 0.25\; और\; 0.5\; का\; LCM\; =\; 0.5\; </span></span>}$

$\mathrm{<span><span\; face="Verdana,\; sans-serif"\; style="background-color:\; transparent;\; color:\; black;\; font-size:\; medium;\; font-style:\; normal;\; font-variant:\; normal;\; font-weight:\; 400;\; text-decoration:\; none;\; vertical-align:\; baseline;\; white-space:\; pre-wrap;"><br></span></span>}$

---

उदाहरण 3: 0.2 और 0.4  का LCM

Step-1 दशमलव संख्याओं को पूर्णांक में बदलें:

0.2  को 10 से गुणा करें: 0.2×10=2

0.4  को 10 से गुणा करें: 0.4×10=4

Step-2 पूर्णांकों का LCM निकालें:

2  और 4  का LCM = 4

Step-3 LCM को वापस दशमलव में बदलें:

     

 LCM = $\frac{4}{10} = 0.4$

$$

$\mathrm{<span\; face="Verdana,\; sans-serif"\; id="docs-internal-guid-4d70c0f4-7fff-e5d5-daf4-873149ff4c39"\; style="background-color:\; transparent;\; color:\; black;\; font-style:\; normal;\; font-variant:\; normal;\; font-weight:\; 700;\; text-decoration:\; none;\; vertical-align:\; baseline;\; white-space:\; pre-wrap;">उत्तर:</span><span\; face="Verdana,\; sans-serif"\; style="background-color:\; transparent;\; color:\; black;\; font-style:\; normal;\; font-variant:\; normal;\; font-weight:\; 400;\; text-decoration:\; none;\; vertical-align:\; baseline;\; white-space:\; pre-wrap;">\; 0.2\; और\; 0.4\; का\; LCM\; =\; 0.4</span>}$

---

[i] दशमलव संख्याओं का LCM निकालने के लिए, पहले उन संख्याओं को पूर्णांक में बदलें। 
[ii] फिर, इन पूर्णांकों का LCM निकालें।
[iii] अंत में, LCM को वापस दशमलव में बदलें।

 

---

◆✦◆✦◆ Exercise - 05 ◆✦◆✦◆

---

प्रश्न 01: 1.5 और 2.5 का LCM निकालें। 

(A) 7.5      (B) 3.5      (C) 15.0      (D) 0.75

---

प्रश्न 02: 0.6 और 1.2 का LCM निकालें। 

(A) 0.6      (B) 1.2      (C) 2.4      (D) 1.8

---

प्रश्न 03: 3.75 और 1.5 का LCM निकालें। 

(A) 3.75      (B) 7.5      (C) 15.0      (D) 1.5

---

प्रश्न 04: 0.4 और 0.8 का LCM निकालें। 

(A) 0.4      (B) 1.6      (C) 0.8      (D) 1.2

---

प्रश्न 05: 1.2 और 0.5 का LCM निकालें। 

(A) 6.0      (B) 1.2      (C) 0.6      (D) 3.0

---

प्रश्न 06: 2.4 और 3.6 का LCM निकालें। 

(A) 7.2      (B) 12.0      (C) 3.6      (D) 4.8

---

प्रश्न 07: 0.25, 1.25 और 1.5 का LCM निकालें। 

(A) 3.75      (B) 7.5      (C) 15.0      (D) 1.5

---

प्रश्न 08: 0.3 और 0.5 का LCM निकालें। 

(A) 1.5      (B) 0.15      (C) 3.0      (D) 0.5

---

प्रश्न 09: 2.5, 0.5, 3.5 और 1.25 का LCM निकालें। 

(A) 17.5      (B) 35.0      (C) 8.75      (D) 7.5

---

प्रश्न 10: 4.8 और 1.2 का LCM निकालें। 

(A) 1.2      (B) 9.6      (C) 4.8      (D) 2.4

---

प्रश्न 11: 0.12, 0.24 और 0.36 का LCM क्या होगा? 

(A) 0.72      (B) 1.44      (C) 0.36      (D) 0.48

---

प्रश्न 12: 1.05 और 2.1 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 2.1      (B) 4.2      (C) 1.05      (D) 21.0

---

प्रश्न 13: 0.2, 0.4 और 0.6 का LCM क्या है? 

(A) 1.2      (B) 0.6      (C) 2.4      (D) 0.12

---

प्रश्न 14: 1.5, 3.0, 4.5 और 6.0 का LCM निकालें। 

(A) 12.0      (B) 18.0      (C) 9.0      (D) 6.0

---

प्रश्न 15: 0.8, 1.6 और 2.4 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 4.8      (B) 2.4      (C) 8.0      (D) 3.2

---

प्रश्न 16: 0.04, 0.2 और 0.5 का LCM क्या होगा? 

(A) 1.0      (B) 0.4      (C) 0.04      (D) 2.0

---

प्रश्न 17: 2.5, 5.0, 7.5 और 10.0 का LCM निकालें। 

(A) 30.0      (B) 7.5      (C) 25.0      (D) 15.0

---

प्रश्न 18: 0.9, 1.8 और 2.7 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 5.4      (B) 2.7      (C) 1.8      (D) 10.8

---

प्रश्न 19: 0.25, 0.5 और 1.0 का LCM क्या है? 

(A) 1.0      (B) 0.5      (C) 2.0      (D) 0.25

---

प्रश्न 20: 1.2, 2.4, 3.6 और 4.8 का LCM निकालें। 

(A) 14.4      (B) 7.2      (C) 9.6      (D) 12.0

---

प्रश्न 21: 0.15, 0.30 और 0.45 का LCM क्या है? 

(A) 0.9      (B) 0.45      (C) 1.5      (D) 1.35

---

प्रश्न 22: 2.2, 4.4 और 6.6 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 13.2      (B) 6.6      (C) 26.4      (D) 4.4

---

प्रश्न 23: 0.5, 0.75 और 1.25 का LCM निकालें। 

(A) 3.75      (B) 7.5      (C) 1.25      (D) 2.5

---

प्रश्न 24: 1.1, 2.2, 3.3 और 4.4 का LCM क्या होगा? 

(A) 13.2      (B) 26.4      (C) 6.6      (D) 11.0

---

प्रश्न 25: 0.06, 0.12 और 0.18 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 0.36      (B) 0.72      (C) 0.18      (D) 0.48

---

प्रश्न 26: 1.4, 2.8 और 4.2 का LCM निकालें। 

(A) 8.4      (B) 4.2      (C) 12.6      (D) 16.8

---

प्रश्न 27: 0.2, 0.02 और 0.002 का LCM क्या है? 

(A) 0.2      (B) 0.02      (C) 0.002      (D) 2.0

---

प्रश्न 28: 3.5, 7.0 और 10.5 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 21.0      (B) 10.5      (C) 14.0      (D) 42.0

---

प्रश्न 29: 0.8, 0.16 और 0.32 का LCM निकालें। 

(A) 0.32      (B) 0.8      (C) 1.6      (D) 0.16

---

प्रश्न 30: 1.3, 2.6, 3.9 और 5.2 का LCM क्या होगा? 

(A) 15.6      (B) 7.8      (C) 26.0      (D) 13.0

---

प्रश्न 31: 1.25, 2.5, 3.75 और 5.0 का LCM निकालें। 

(A) 15.0      (B) 7.5      (C) 3.75      (D) 5.0

---

प्रश्न 32: 0.1, 0.01, 0.001 और 1.0 का LCM क्या है? 

(A) 1.0      (B) 0.1      (C) 0.01      (D) 0.001

---

प्रश्न 33: 4.5, 9.0 और 13.5 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 27.0      (B) 18.0      (C) 13.5      (D) 9.0

---

प्रश्न 34: 0.24, 0.48, 0.72 और 0.96 का LCM क्या होगा? 

(A) 2.88      (B) 1.44      (C) 0.96      (D) 4.32

---

प्रश्न 35: 2.7, 5.4 और 8.1 का LCM निकालें। 

(A) 16.2      (B) 8.1      (C) 32.4      (D) 10.8

---

प्रश्न 36: 0.35, 0.7 और 1.05 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 2.1      (B) 1.05      (C) 3.15      (D) 0.7

---

प्रश्न 37: 1.6, 3.2, 4.8 और 6.4 का LCM क्या है? 

(A) 19.2      (B) 9.6      (C) 32.0      (D) 12.8

---

प्रश्न 38: 0.5, 0.15 और 0.25 का LCM निकालें। 

(A) 0.75      (B) 1.5      (C) 0.25      (D) 0.5

---

प्रश्न 39: 2.1, 4.2, 6.3 और 8.4 का LCM क्या होगा? 

(A) 25.2      (B) 12.6      (C) 8.4      (D) 16.8

---

प्रश्न 40: 0.05, 0.1 और 0.15 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 0.3      (B) 0.15      (C) 0.6      (D) 0.05

---

प्रश्न 41: 0.16, 0.32, 0.48 और 0.64 का LCM निकालें। 

(A) 1.92      (B) 0.96      (C) 0.64      (D) 3.84

---

प्रश्न 42: 1.8, 3.6, 5.4 और 7.2 का LCM क्या है? 

(A) 10.8      (B) 21.6      (C) 7.2      (D) 14.4

---

प्रश्न 43: 0.45, 0.9 और 1.35 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 2.7      (B) 1.35      (C) 5.4      (D) 0.9

---

प्रश्न 44: 2.5, 7.5, 12.5 और 15.0 का LCM निकालें। 

(A) 75.0      (B) 37.5      (C) 150.0      (D) 25.0

---

प्रश्न 45: 0.3, 0.03, 0.003 और 3.0 का LCM क्या होगा? 

(A) 3.0      (B) 0.3      (C) 0.03      (D) 0.003

---

प्रश्न 46: 1.7, 3.4, 5.1 और 6.8 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 20.4      (B) 10.2      (C) 34.0      (D) 13.6

---

प्रश्न 47: 0.22, 0.44 और 0.66 का LCM निकालें। 

(A) 1.32      (B) 0.66      (C) 2.64      (D) 0.44

---

प्रश्न 48: 3.2, 6.4, 9.6 और 12.8 का LCM क्या है? 

(A) 38.4      (B) 19.2      (C) 12.8      (D) 25.6

---

प्रश्न 49: 0.08, 0.12, 0.16 और 0.24 का LCM ज्ञात करें। 

(A) 0.48      (B) 0.24      (C) 0.96      (D) 0.12

---

प्रश्न 50: 0.9, 0.18, 0.27 और 0.36 का LCM क्या होगा? 

(A) 1.08      (B) 5.4      (C) 0.54      (D) 10.8

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◆✦◆✦◆ Answer Key-05 ◆✦◆✦◆

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Answer Key-05
Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans	Ques	Ans
1	A	11	A	21	A	31	A	41	A
2	B	12	A	22	A	32	A	42	A
3	A	13	A	23	A	33	A	43	A
4	C	14	B	24	A	34	A	44	A
5	A	15	A	25	A	35	A	45	A
6	A	16	A	26	A	36	A	46	A
7	B	17	A	27	A	37	A	47	A
8	A	18	A	28	A	38	A	48	A
9	A	19	A	29	B	39	A	49	A
10	C	20	A	30	A	40	A	50	A

 

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👉 1 से 1000 तक गुणनखंड

👉 H.C.F.{Highest Common Factor}

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